미적분 예제

$6 x^{4} + 16 x^{3}$

단계 1

$6 x^{4} + 16 x^{3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{4} + 16 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{4}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

단계 2.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

단계 2.1.2.3

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{3}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$24 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 24 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $24 x^{3} + 48 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{3}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

단계 2.2.2.3

$3$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x^{2}$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$72 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$72 x^{2} + 48 (2 x)$

단계 2.2.3.3

$2$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 72 x^{2} + 96 x$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $72 x^{2} + 96 x$ 입니다.

$72 x^{2} + 96 x$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $72 x^{2} + 96 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$72 x^{2} + 96 x = 0$

단계 3.2

$72 x^{2} + 96 x$ 에서 $24 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$72 x^{2}$ 에서 $24 x$ 를 인수분해합니다.

$24 x (3 x) + 96 x = 0$

단계 3.2.2

$96 x$ 에서 $24 x$ 를 인수분해합니다.

$24 x (3 x) + 24 x (4) = 0$

단계 3.2.3

$24 x (3 x) + 24 x (4)$ 에서 $24 x$ 를 인수분해합니다.

$24 x (3 x + 4) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

단계 3.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.5

$3 x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$3 x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 4 = 0$

단계 3.5.2

$3 x + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$3 x = - 4$

단계 3.5.2.2

$3 x = - 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$3 x = - 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

단계 3.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

단계 3.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{3}$

단계 3.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{4}{3}$

단계 3.6

$24 x (3 x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 16 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 6 \cdot 0 + 16 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.2

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 16 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 16 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$16$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.2

$f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 4.3

$f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ 에 $- \frac{4}{3}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{4}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 {(- \frac{4}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1.1

$- \frac{4}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{4}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.1.2

$\frac{4}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{4^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (1 (\frac{4^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.3

$\frac{4^{4}}{3^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (\frac{4^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.4

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (\frac{256}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.5

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (\frac{256}{81}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.6.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 3 (2) (\frac{256}{81}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.6.2

$81$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{256}{3 \cdot 27})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.6.3

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{256}{3 \cdot 27})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.6.4

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{4}{3}) = 2 (\frac{256}{27}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.7

$2$ 와 $\frac{256}{27}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 256}{27} + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.8

$2$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.9

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.9.1

$- \frac{4}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3})$

단계 4.3.2.1.9.2

$\frac{4}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}))$

단계 4.3.2.1.10

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 (- \frac{4^{3}}{3^{3}})$

단계 4.3.2.1.11

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 (- \frac{64}{3^{3}})$

단계 4.3.2.1.12

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 (- \frac{64}{27})$

단계 4.3.2.1.13

$16 (- \frac{64}{27})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.13.1

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} - 16 (\frac{64}{27})$

단계 4.3.2.1.13.2

$- 16$ 와 $\frac{64}{27}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 16 \cdot 64}{27}$

단계 4.3.2.1.13.3

$- 16$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 1024}{27}$

단계 4.3.2.1.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{27}$

단계 4.3.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512 - 1024}{27}$

단계 4.3.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.2.1

$512$ 에서 $1024$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 512}{27}$

단계 4.3.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{512}{27}$

단계 4.3.2.3

최종 답은 $- \frac{512}{27}$ 입니다.

$- \frac{512}{27}$

단계 4.4

$f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ 에 $- \frac{4}{3}$ 을 대입하여 구한 점은 $(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27})$

단계 4.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - \frac{4}{3})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.4\overline{3}$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 72 {(- 1.4\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.4\overline{3})$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1.4\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 72 \cdot 2.05\overline{4} + 96 (- 1.4\overline{3})$

단계 6.2.1.2

$72$ 에 $2.05\overline{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 147.92 + 96 (- 1.4\overline{3})$

단계 6.2.1.3

$96$ 에 $- 1.4\overline{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 147.92 - 137.6$

단계 6.2.2

$147.92$ 에서 $137.6$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 10.32$

단계 6.2.3

최종 답은 $10.32$ 입니다.

$10.32$

단계 6.3

$- 1.4\overline{3}$ 에서의 이계도함수는 $10.32$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - \frac{4}{3})$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{4}{3})$ 에서 증가함

단계 7

$(- \frac{4}{3}, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.\overline{6}$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.\overline{6}) = 72 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.\overline{6})$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 0.\overline{6}$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.\overline{6}) = 72 \cdot 0.\overline{4} + 96 (- 0.\overline{6})$

단계 7.2.1.2

$72$ 에 $0.\overline{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.\overline{6}) = 32 + 96 (- 0.\overline{6})$

단계 7.2.1.3

$96$ 에 $- 0.\overline{6}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.\overline{6}) = 32 - 64$

단계 7.2.2

$32$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.\overline{6}) = - 32$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 32$ 입니다.

$- 32$

단계 7.3

$- 0.\overline{6}$ 에서의 2차 미분값은 $- 32$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \frac{4}{3}, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \frac{4}{3}, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 72 {(0.1)}^{2} + 96 (0.1)$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 72 \cdot 0.01 + 96 (0.1)$

단계 8.2.1.2

$72$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.72 + 96 (0.1)$

단계 8.2.1.3

$96$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.72 + 9.6$

단계 8.2.2

$0.72$ 를 $9.6$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 10.32$

단계 8.2.3

최종 답은 $10.32$ 입니다.

$10.32$

단계 8.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $10.32$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27}), (0, 0)$ 입니다.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27}), (0, 0)$

단계 10