미적분 예제

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

단계 1

$f (t) = 1 - t^{2}$ , $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 - \frac{3}{t^{2}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ 가 됩니다.

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 2.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{3}{t^{2}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ 입니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.2

$\frac{1}{t^{2}}$ 을 ${(t^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.5

${(t^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.7

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 3.10

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{t^{3}}$ 을 묶습니다.

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 4.2.2

$0$ 를 $\frac{6}{t^{3}}$ 에 더합니다.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $1 - t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 가 됩니다.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

단계 5.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

단계 6

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

단계 6.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

단계 7

$0$ 에서 $2 t$ 을 뺍니다.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3

항을 묶습니다.

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단계 8.3.1

$\frac{6}{t^{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3.2

$\frac{6}{t^{3}}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3.3

$t^{2}$ 및 $t^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.3.1

$6 t^{2}$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.3.2.1

$t^{3}$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

단계 8.3.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

단계 8.3.6

$2$ 와 $\frac{3}{t^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

단계 8.3.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

단계 8.3.8

$\frac{6}{t^{2}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

단계 8.3.9

$t$ 및 $t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.9.1

$6 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

단계 8.3.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.9.2.1

$t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

단계 8.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

단계 8.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

단계 8.3.10

$- \frac{6}{t}$ 를 $\frac{6}{t}$ 에 더합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

단계 8.3.11

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

단계 8.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$