미적분 예제

${(5 x + 1)}^{5} {(4 x + 1)}^{- 2}$

단계 1

$f (x) = {(5 x + 1)}^{5}$ , $g (x) = {(4 x + 1)}^{- 2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{- 2}] + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = 4 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x + 1$ 로 바꿉니다.

${(5 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x + 1$ 로 바꿉니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 3.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + 0)) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \cdot 4) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 3.6.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 {(4 x + 1)}^{- 3}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 \frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 4.2

$- 8$ 와 $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

${(5 x + 1)}^{5} \frac{- 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

단계 5

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = 5 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 5.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $5 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 6.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 6.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 6.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + 0))$

단계 6.6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \cdot 5)$

단계 6.6.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

${(5 x + 1)}^{5}$ 와 $\frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(5 x + 1)}^{5} \cdot 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

단계 7.2.2

${(5 x + 1)}^{5}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$- \frac{8 \cdot {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

단계 7.2.3

$25$ 와 $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}} {(5 x + 1)}^{4}$

단계 7.2.4

$\frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}}$ 와 ${(5 x + 1)}^{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$

단계 7.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 x + 1}{4 x + 1}$

단계 7.2.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(4 x + 1)}^{3}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 7.2.6.1

$\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ 에 $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} (4 x + 1)}$

단계 7.2.6.2

지수를 더하여 ${(4 x + 1)}^{2}$ 에 $4 x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.6.2.1

${(4 x + 1)}^{2}$ 에 $4 x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.6.2.1.1

$4 x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} {(4 x + 1)}^{1}}$

단계 7.2.6.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2 + 1}}$

단계 7.2.6.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ 에서 ${(5 x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.3.1.1

$- 8 {(5 x + 1)}^{5}$ 에서 ${(5 x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.1.2

$25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ 에서 ${(5 x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.1.3

${(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))$ 에서 ${(5 x + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1) + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x) - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.3

$5$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x) + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.6

$4$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.7

$25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.8

$- 40 x$ 를 $100 x$ 에 더합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x - 8 + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

단계 7.3.9

$- 8$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x + 17)}{{(4 x + 1)}^{3}}$