미적분 예제

$y = {(x^{2} - 3 x + 1)}^{5}$

단계 1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

단계 1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 + 0)$

단계 4.2

$2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3)$