미적분 예제

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$ 을 ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}]$

단계 1.2

${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 4}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = x^{2} - 2 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

단계 2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.6

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + 0)$

단계 3.7

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

단계 4.3

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 x) - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.6

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(- 2 x + 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.7

$- 2 x + 2$ 에 $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 2 x + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

$- 2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.8.1.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (- x) + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.8.1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (- x) + 2 (1)) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.8.1.3

$2 (- x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.8.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.9

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.10

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.11

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.12

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

단계 4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$