미적분 예제

$\sqrt{x^{4} + y^{2}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ 을(를) ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d y} [{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ , $g (y) = x^{4} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x^{4} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 9

$x^{4}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{4}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{4}$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 10

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y)$

단계 12

항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y$

단계 12.2

$\frac{2}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$