미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sin (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

단계 3

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

단계 4.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

단계 5

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 5.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 5.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 5.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 5.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 5.5.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

단계 6

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

단계 8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

단계 9

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

단계 10.2

$π$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3

간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$2$ 와 $\frac{π}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.2.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.3

$\frac{π}{2}$ 와 $\cos (π)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.4

$\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.5

$\frac{π \cos (π)}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.7

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.8

$0$ 에 $\cos (0)$ 을 곱합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.9

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.9.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.10

$- \frac{π \cos (π)}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

단계 10.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

단계 10.3.12

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

단계 10.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

단계 10.3.14

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

단계 10.3.15

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.15.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

단계 10.3.15.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

단계 10.3.16

$\sin (π) - \sin (0)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

단계 11.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

단계 11.3

$- π \cos (π) + \sin (π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

단계 11.4

$- π \cos (π)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

단계 11.5

$\sin (π)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

단계 11.6

$- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

단계 11.7

$- (π \cos (π) - \sin (π))$ 을 $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

단계 11.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

단계 12.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

단계 12.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

단계 12.4

$π$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

단계 12.5

$- 1 π$ 을 $- π$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

단계 12.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

단계 12.7

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- \frac{- π - 0}{4}$

단계 12.8

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{- π + 0}{4}$

단계 12.9

$- π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{- π}{4}$

단계 12.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{π}{4}$

단계 12.11

$- - \frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{π}{4}$

단계 12.11.2

$\frac{π}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{4}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{4}$

소수 형태:

$0.78539816 \dots$