미적분 예제

$y = \ln (\arctan (6 x^{5}))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \arctan (6 x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\arctan (6 x^{5})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\arctan (6 x^{5})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 6 x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 x^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 2.2

$\arctan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 x^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$6 x^{5}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 (x^{5}))}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$6 (x^{5})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 6^{2} {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 3.2.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 3.2.3

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 3.2.3.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

단계 3.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{5}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}]))$

단계 3.4

$6$ 와 $\frac{1}{1 + 36 x^{10}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3.5

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} (5 x^{4}))$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

$5$ 와 $\frac{6}{1 + 36 x^{10}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{5 \cdot 6}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

단계 3.6.2

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{30}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

단계 3.6.3

$\frac{30}{1 + 36 x^{10}}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{1 + 36 x^{10}}$

단계 3.6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$

단계 3.6.5

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})}$ 에 $\frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x^{4}}{\arctan (6 x^{5}) (36 x^{10} + 1)}$