미적분 예제

$y - x \sin (x y)$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $y - x \sin (x y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

단계 1.2

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x \sin (x y)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x y)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$0 - (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$0 - (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$0 - (x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - (x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \cdot 1)$

단계 2.7

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y) \cdot 1)$

단계 2.8

$\sin (x y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y))$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$0 - (x (\cos (x y) y)) - \sin (x y)$

단계 3.2

$0$ 에서 $- (- x (\cos (x y) y) - \sin (x y))$ 을 뺍니다.

$- x (\cos (x y) y) - \sin (x y)$

단계 3.3

항을 다시 정렬합니다.

$- x y \cos (x y) - \sin (x y)$