미적분 예제

$y = \cos (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$

단계 1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

단계 1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

단계 2

$f (x) = 1 - e^{8 x}$ , $g (x) = 1 + e^{8 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{8 x}] - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 - e^{8 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]$ 가 됩니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- e^{8 x}]$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) \frac{d}{d x} [- e^{8 x}] - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{8 x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ 입니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 5.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x} \cdot 1) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 5.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 5.5

합의 법칙에 의해 $1 + e^{8 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ 가 됩니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{8 x}])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 5.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{8 x}])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 5.7

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 6.3

$u_{3}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 7.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 7.4

$e^{8 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) + (- 8 \cdot 1 - 8 (- e^{8 x})) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.4.1.1

$- 8 e^{8 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x} e^{8 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.3

지수를 더하여 $e^{8 x}$ 에 $e^{8 x}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.3.1

$e^{8 x}$ 를 옮깁니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 (e^{8 x} e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x + 8 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.3.3

$8 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.5

지수를 더하여 $e^{8 x}$ 에 $e^{8 x}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.5.1

$e^{8 x}$ 를 옮깁니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- (e^{8 x} e^{8 x}))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x + 8 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.5.3

$8 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{16 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.1.6

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} + 8 e^{16 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.2

$- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} + 8 e^{16 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 8.4.2.1

$- 8 e^{16 x}$ 를 $8 e^{16 x}$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} + 0 - 8 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.2.2

$- 8 e^{8 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.4.3

$- 8 e^{8 x}$ 에서 $8 e^{8 x}$ 을 뺍니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 8.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) (- \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

항을 묶습니다.

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단계 9.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 9.1.2

$\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 9.1.3

$\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$ 와 $\frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) (16 e^{8 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

단계 9.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{16 e^{8 x} \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$