미적분 예제

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

단계 1

연쇄법칙에 따르면 $x$ 에 관한 $y$ 의 도함수는 $u$ 에 대한 $y$ 의 도함수와 $x$ 에 대한 $u$ 의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

단계 2

$\frac{d y}{d u}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $u^{2} + 1$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

단계 2.3

$1$ 이 $u$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 u + 0$

단계 2.4

$2 u$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 u$

단계 3

$\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$3 + 0$

단계 3.3.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 4

$\frac{d y}{d u}$ 에 $\frac{d u}{d x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

단계 5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

단계 6

$u$ 의 값을 도함수 $6 u$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

단계 7

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

단계 7.2

곱합니다.

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단계 7.2.1

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

단계 7.2.2

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$