미적분 예제

$0 = - 2 \cos (X) + 2 \cos (2 X)$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $2 \cos (X)$ 를 더합니다.

$2 \cos (X) = 2 \cos (2 X)$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $2 \cos (2 X)$ 를 뺍니다.

$2 \cos (X) - 2 \cos (2 X) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (X) - 2 (2 \cos^{2} (X) - 1) = 0$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (X) - 2 (2 \cos^{2} (X)) - 2 \cdot - 1 = 0$

단계 2.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) - 2 \cdot - 1 = 0$

단계 2.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2 = 0$

단계 3

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2$ 을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 \cos (X)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2 = 0$

단계 3.1.2

$- 4 \cos^{2} (X)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X)) + 2 = 0$

단계 3.1.3

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1) = 0$

단계 3.1.4

$2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1) = 0$

단계 3.1.5

$2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X) + 1) = 0$

단계 3.2

$u = \cos (X)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\cos (X)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$2 (u - 2 u^{2} + 1) = 0$

단계 3.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 (- 2 u^{2} + u + 1) = 0$

단계 3.3.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$2 (- 2 u^{2} + 1 u + 1) = 0$

단계 3.3.2.2

$1$ 를 $- 1$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$2 (- 2 u^{2} + (- 1 + 2) u + 1) = 0$

단계 3.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (- 2 u^{2} - 1 u + 2 u + 1) = 0$

단계 3.3.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 ((- 2 u^{2} - 1 u) + 2 u + 1) = 0$

단계 3.3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 (u (- 2 u - 1) - (- 2 u - 1)) = 0$

단계 3.3.4

최대공약수 $- 2 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 ((- 2 u - 1) (u - 1)) = 0$

단계 3.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$u$ 를 모두 $\cos (X)$ 로 바꿉니다.

$2 ((- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1)) = 0$

단계 3.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$- 2 \cos (X) - 1 = 0$

$\cos (X) - 1 = 0$

단계 5

$- 2 \cos (X) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $X$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 2 \cos (X) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 2 \cos (X) - 1 = 0$

단계 5.2

$- 2 \cos (X) - 1 = 0$ 을 $X$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- 2 \cos (X) = 1$

단계 5.2.2

$- 2 \cos (X) = 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 2 \cos (X) = 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \cos (X)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

단계 5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \cos (X)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

단계 5.2.2.2.1.2

$\cos (X)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (X) = \frac{1}{- 2}$

단계 5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (X) = - \frac{1}{2}$

단계 5.2.3

코사인 안의 $X$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$X = \arccos (- \frac{1}{2})$

단계 5.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{2 π}{3}$ 입니다.

$X = \frac{2 π}{3}$

단계 5.2.5

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$X = 2 π - \frac{2 π}{3}$

단계 5.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$X = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 5.2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$X = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 5.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$X = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

단계 5.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$X = \frac{6 π - 2 π}{3}$

단계 5.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$X = \frac{4 π}{3}$

단계 5.2.7

$\cos (X)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 5.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 5.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 5.2.8

함수 $\cos (X)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $X = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$

단계 6

$\cos (X) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $X$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\cos (X) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (X) - 1 = 0$

단계 6.2

$\cos (X) - 1 = 0$ 을 $X$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\cos (X) = 1$

단계 6.2.2

코사인 안의 $X$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$X = \arccos (1)$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$\arccos (1)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$X = 0$

단계 6.2.4

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$X = 2 π - 0$

단계 6.2.5

$2 π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$X = 2 π$

단계 6.2.6

$\cos (X)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.2.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.2.7

함수 $\cos (X)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $X = 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 7

$2 (- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $X = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 8

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $X = \frac{2 π n}{3}$

단계 9