미적분 예제

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

단계 1

연쇄법칙에 따르면 $x$ 에 관한 $y$ 의 도함수는 $u$ 에 대한 $y$ 의 도함수와 $x$ 에 대한 $u$ 의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

단계 2

$\frac{d y}{d u}$ 를 구합니다.

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단계 2.1

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 2.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

단계 2.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

단계 2.6

$\frac{3}{2}$ 와 $u^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3

$\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.2.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$6 + 0$

단계 3.3.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6$

단계 4

$\frac{d y}{d u}$ 에 $\frac{d u}{d x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

단계 5

우변 $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 5.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

단계 5.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

단계 6

$u$ 의 값을 도함수 $9 u^{\frac{1}{2}}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$