미적분 예제

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

단계 1

연쇄법칙에 따르면 $x$ 에 관한 $y$ 의 도함수는 $u$ 에 대한 $y$ 의 도함수와 $x$ 에 대한 $u$ 의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

단계 2

$\frac{d y}{d u}$ 를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $u^{2} + u - 2$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

단계 2.4

$- 2$ 이 $u$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 u + 1 + 0$

단계 2.5

$2 u + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 u + 1$

단계 3

$\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2}$

단계 3.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}}$

단계 4

$\frac{d y}{d u}$ 에 $\frac{d u}{d x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

단계 5

우변 $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

단계 5.2

$- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

단계 5.2.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

단계 5.2.3

$\frac{- 2}{x^{2}}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

단계 5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 6

$u$ 의 값을 도함수 $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 7.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

단계 7.3

조합합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 7.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 7.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 7.4.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 7.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$