미적분 예제

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

단계 1

연쇄법칙에 따르면 $t$ 에 관한 $w$ 의 도함수는 $u$ 에 대한 $w$ 의 도함수와 $t$ 에 대한 $u$ 의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

단계 2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2}$

단계 3

$\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$f (t) = t - 1$ , $g (t) = t + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $t - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.4.2

$t + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.5

합의 법칙에 의해 $t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.7

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$t + 1 - t - - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.2.1.1

$t$ 에서 $t$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 4

$\frac{d w}{d u}$ 에 $\frac{d u}{d t}$ 을 곱합니다.

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

단계 5

우변 $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

단계 5.2

$3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1

$3$ 와 $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

단계 5.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

단계 5.3

$\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 6

$u$ 의 값을 도함수 $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ 에 대입합니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 7

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{t - 1}{t + 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 7.2

$6$ 와 $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 7.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 7.4

조합합니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

단계 7.5

지수를 더하여 ${(t + 1)}^{2}$ 에 ${(t + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

단계 7.5.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

단계 7.6

$6 {(t - 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$