미적분 예제

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

단계 1

$f (z) = 2 x$ , $g (z) = z^{2} - y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 는 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$2 x$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $2 x$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $2 x$ 입니다.

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $z^{2} - y^{2}$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 2.4

$- y^{2}$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $- y^{2}$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $- y^{2}$ 입니다.

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 2.5

$2 z$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$z^{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2

$- y^{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

$0$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.4

$- 1 \cdot 2 \cdot 2$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.4.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.4.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2.2

$0 + 0 - 4 x z$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.2.2.2

$0$ 에서 $4 x z$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

단계 3.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = z$ 이고 $b = y$ 입니다.

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

단계 3.4.2

$(z + y) (z - y)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$