미적분 예제

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ 는 $n A^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2000$ 은 $A$ 에 대해 일정하므로 $A$ 에 대한 $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ 의 미분은 $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ 입니다.

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

단계 3.2

$f (A) = A^{60}$ , $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ 일 때 $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ 는 $f' (g (A)) g' (A)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + \frac{r}{12}$ 로 바꿉니다.

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

단계 3.2.2

$n = 60$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $1 + \frac{r}{12}$ 로 바꿉니다.

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$60$ 에 $2000$ 을 곱합니다.

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{r}{12}$ 를 $A$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ 가 됩니다.

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

단계 3.3.3

$1$ 이 $A$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $A$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

단계 3.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ 에 더합니다.

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

단계 3.3.5

$\frac{1}{12}$ 은 $A$ 에 대해 일정하므로 $A$ 에 대한 $\frac{r}{12}$ 의 미분은 $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ 입니다.

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

단계 3.3.6

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$\frac{1}{12}$ 와 $120000$ 을 묶습니다.

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

단계 3.3.6.2

$\frac{120000}{12}$ 와 ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ 을 묶습니다.

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

단계 3.3.6.3

$120000$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.3.1

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

단계 3.3.6.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.3.2.1

$12$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

단계 3.3.6.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

단계 3.3.6.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

단계 3.3.6.3.2.4

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

단계 3.4

$\frac{d}{d A} [r]$ 을 $r'$ 로 바꿔 씁니다.

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

단계 5

$r'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

단계 5.2

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ 의 각 항을 $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ 의 각 항을 $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ 로 나눕니다.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$10000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

단계 5.2.2.2

${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

단계 5.2.2.2.2

$r'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

단계 5.2.3.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

단계 5.2.3.1.3

$\frac{12 + r}{12}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

단계 5.2.3.2

$10000$ 와 $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ 을 묶습니다.

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

단계 5.2.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

단계 5.2.3.4

$\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

단계 6

$r'$ 에 $\frac{d r}{d A}$ 를 대입합니다.

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$