미적분 예제

$q = \sqrt{20 r - r^{7}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{20 r - r^{7}}$ 을(를) ${(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$q = {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} ({(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$q$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $q'$ 입니다.

$q'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ , $g (r) = 20 r - r^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 는 $f' (g (r)) g' (r)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $20 r - r^{7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $20 r - r^{7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.6

분수를 통분합니다.

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단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

단계 4.7

합의 법칙에 의해 $20 r - r^{7}$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

단계 4.8

$20$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $20 r$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

단계 4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

단계 4.10

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

단계 4.11

$- 1$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- r^{7}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d r} [r^{7}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d r} [r^{7}])$

단계 4.12

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (7 r^{6}))$

단계 4.13

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$

단계 4.14

간단히 합니다.

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단계 4.14.1

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(20 - 7 r^{6}) \frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14.2

$20 - 7 r^{6}$ 에 $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$q' = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$q'$ 에 $\frac{d q}{d r}$ 를 대입합니다.

$\frac{d q}{d r} = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$