미적분 예제

$q = \sqrt{15 r - r^{7}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{15 r - r^{7}}$ 을(를) ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$q = {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} ({(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 는 $n q^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ , $g (q) = 15 r - r^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 는 $f' (g (q)) g' (q)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $15 r - r^{7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $15 r - r^{7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

단계 4.7

합의 법칙에 의해 $15 r - r^{7}$ 를 $q$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

단계 4.8

$15$ 은 $q$ 에 대해 일정하므로 $q$ 에 대한 $15 r$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d q} [r]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 \frac{d}{d q} [r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

단계 4.9

$\frac{d}{d q} [r]$ 을 $r'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

단계 4.10

$- 1$ 은 $q$ 에 대해 일정하므로 $q$ 에 대한 $- r^{7}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d q} [r^{7}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - \frac{d}{d q} [r^{7}])$

단계 4.11

$f (q) = q^{7}$ , $g (q) = r$ 일 때 $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 는 $f' (g (q)) g' (q)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $r$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d q} [r]))$

단계 4.11.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

단계 4.11.3

$u_{2}$ 를 모두 $r$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

단계 4.12

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 (r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

단계 4.13

$\frac{d}{d q} [r]$ 을 $r'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 r^{6} r')$

단계 4.14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r') + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

단계 4.14.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.2.1

$15$ 와 $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r' + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

단계 4.14.2.2

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $r'$ 을 묶습니다.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

단계 4.14.2.3

$- 7$ 와 $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (r^{6} r')$

단계 4.14.2.4

$r^{6}$ 와 $\frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r'$

단계 4.14.2.5

$\frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $r'$ 을 묶습니다.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14.2.6

$r^{6}$ 의 왼쪽으로 $- 7$ 이동하기

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 \cdot r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$r'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

단계 6.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 1$

단계 6.2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 6.2.3

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 6.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 6.2.5

$2, 2, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 6.2.6

$15 r - r^{7}$ 의 인수는 $15 r - r^{7}$ 자신입니다.

$(15 r - r^{7}) = 15 r - r^{7}$

$(15 r - r^{7})$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 6.2.7

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2.8

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ 의 각 항에 $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ 의 각 항에 $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

단계 6.3.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.4

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- 7 r^{6} r' + 15 r'$ 에서 $r'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

$- 7 r^{6} r'$ 에서 $r'$ 를 인수분해합니다.

$r' (- 7 r^{6}) + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.4.1.2

$15 r'$ 에서 $r'$ 를 인수분해합니다.

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15 = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.4.1.3

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15$ 에서 $r'$ 를 인수분해합니다.

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.4.2

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $- 7 r^{6} + 15$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $- 7 r^{6} + 15$ 로 나눕니다.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

단계 6.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

$- 7 r^{6} + 15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

단계 6.4.2.2.1.2

$r'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

단계 6.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.3.1

$- 7 r^{6}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) + 15}$

단계 6.4.2.3.2

$15$ 을 $- 1 (- 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) - 1 (- 15)}$

단계 6.4.2.3.3

$- (7 r^{6}) - 1 (- 15)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6} - 15)}$

단계 6.4.2.3.4

음수 부분을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.3.4.1

$- (7 r^{6} - 15)$ 을 $- 1 (7 r^{6} - 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (7 r^{6} - 15)}$

단계 6.4.2.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r' = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$

단계 7

$r'$ 에 $\frac{d r}{d q}$ 를 대입합니다.

$\frac{d r}{d q} = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$