미적분 예제

$p^{2} + 2 p + q = 16$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d p} (p^{2} + 2 p + q) = \frac{d}{d p} (16)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $p^{2} + 2 p + q$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [2 p] + \frac{d}{d p} [q]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [2 p] + \frac{d}{d p} [q]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 p + \frac{d}{d p} [2 p] + \frac{d}{d p} [q]$

단계 2.2

$\frac{d}{d p} [2 p]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $2 p$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d p} [p]$ 입니다.

$2 p + 2 \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [q]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 p + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d p} [q]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 p + 2 + \frac{d}{d p} [q]$

단계 2.3

$\frac{d}{d p} [q]$ 을 $q'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 p + 2 + q'$

단계 3

$16$ 이 $p$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 p + 2 + q' = 0$

단계 5

$q'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 p$ 를 뺍니다.

$2 + q' = - 2 p$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$q' = - 2 p - 2$

단계 6

$q'$ 에 $\frac{d q}{d p}$ 를 대입합니다.

$\frac{d q}{d p} = - 2 p - 2$