미적분 예제

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

단계 2

$P$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $P'$ 입니다.

$P'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$B^{3}$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ 의 미분은 $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ 입니다.

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

단계 3.2

$f (r) = r$ , $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 는 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.2

$R^{2} + R r + r^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $R^{2} + R r + r^{2}$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 가 됩니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4

$R^{2}$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $R^{2}$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $R^{2}$ 입니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d r} [R r]$ 에 더합니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.6

$R$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $R r$ 의 미분은 $R \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.8

$R$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.3.10

$B^{3}$ 와 $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

인수가 항 $B^{3} (R r)$ 과(와) $B^{3} (- r R)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3.1.2

$B^{3} R r$ 에서 $B^{3} R r$ 을 뺍니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3.1.3

$B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3.2.2

지수를 더하여 $r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.2.1

$r$ 를 옮깁니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3.2.2.2

$r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.3.3

$B^{3} r^{2}$ 에서 $2 B^{3} r^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

단계 3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

단계 3.4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ 에서 $B^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1

$B^{3} R^{2}$ 에서 $B^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

단계 3.4.5.1.2

$- B^{3} r^{2}$ 에서 $B^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

단계 3.4.5.1.3

$B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ 에서 $B^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

단계 3.4.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = R$ 이고 $b = r$ 입니다.

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

단계 5

$P'$ 에 $\frac{d P}{d r}$ 를 대입합니다.

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$