미적분 예제

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t^{4} + 25}$ 을(를) ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

단계 3

$s$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $s'$ 입니다.

$s'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$10$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = t^{4} + 25$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{4} + 25$ 로 바꿉니다.

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.2.3

$u$ 를 모두 $t^{4} + 25$ 로 바꿉니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.3

합의 법칙에 의해 $t^{4} + 25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ 가 됩니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.5

$25$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.11

$4 t^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.13

$4$ 와 $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.14

$\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.16

$4 t^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.17

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.17.1

$2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.17.2

공약수로 약분합니다.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.17.3

수식을 다시 씁니다.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.18

$10$ 와 $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.2.19

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

$- 50$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 50$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 50$ 입니다.

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

단계 4.3.2

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$s'$ 에 $\frac{d s}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$