미적분 예제

$s = t^{7} \tan (t - \sqrt{t})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$s = t^{7} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{7} \tan (t - t^{\frac{1}{2}}))$

단계 3

$s$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $s'$ 입니다.

$s'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (t) = t^{7}$ , $g (t) = \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{7} \frac{d}{d t} [\tan (t - t^{\frac{1}{2}})] + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.2

$f (t) = \tan (t)$ , $g (t) = t - t^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t - t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$t^{7} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.2.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$t^{7} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $t - t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.3

미분합니다.

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단계 4.3.1

합의 법칙에 의해 $t - t^{\frac{1}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.3.3

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.3.4

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.8

분수를 통분합니다.

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단계 4.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

단계 4.9

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) (7 t^{6})$

단계 4.10

항을 다시 정렬합니다.

$t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$s' = t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

단계 6

$s'$ 에 $\frac{d s}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d s}{d t} = t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$