미적분 예제

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

단계 2

$w$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $w'$ 입니다.

$w'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (t) = t^{90}$ , $g (t) = t^{7} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{7} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

단계 3.1.2

$n = 90$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $t^{7} + 1$ 로 바꿉니다.

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $t^{7} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

단계 3.2.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

단계 3.2.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

단계 3.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$7 t^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

단계 3.2.4.2

$7$ 에 $90$ 을 곱합니다.

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

단계 3.2.4.3

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

단계 5

$w'$ 에 $\frac{d w}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$