미적분 예제

$V = x (36 - x) (24 - 2 x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} (x (36 - x) (24 - 2 x))$

단계 2

$V$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $V'$ 입니다.

$V'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x (36 - x)$ , $g (x) = 24 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $24 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$x (36 - x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.2.2

$24$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $24$ 입니다.

$x (36 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.2.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (36 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (36 - x) (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (36 - x) \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.2.6.2

$x (36 - x)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 \cdot (x (36 - x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

단계 3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = 36 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [36 - x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $36 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.2

$36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $36$ 입니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \cdot - 1 + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.6.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 1 \cdot x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.6.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \cdot 1)$

단계 3.4.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.1

$36 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + 36 - x)$

단계 3.4.8.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

단계 3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

단계 3.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

단계 3.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

$36$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 72 x - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 72 x + 2 x \cdot x + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 72 x + 2 (x^{1} x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 72 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 72 x + 2 x^{1 + 1} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.7

$- 2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.8

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x \cdot x + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.9

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.10

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.13

$24$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 2 x \cdot 36$

단계 3.5.5.14

$36$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 72 x$

단계 3.5.5.15

$- 48 x$ 에서 $72 x$ 을 뺍니다.

$- 72 x + 2 x^{2} - 120 x + 4 x^{2} + 864$

단계 3.5.5.16

$- 72 x$ 에서 $120 x$ 을 뺍니다.

$2 x^{2} - 192 x + 4 x^{2} + 864$

단계 3.5.5.17

$2 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$6 x^{2} - 192 x + 864$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$V' = 6 x^{2} - 192 x + 864$

단계 5

$V'$ 에 $\frac{d V}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d V}{d x} = 6 x^{2} - 192 x + 864$