미적분 예제

$v = \frac{1 + x - 4 \sqrt{x}}{x}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$v' = \frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

단계 3

$v'$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $v''$ 입니다.

$v''$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = 1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2

미분합니다.

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단계 4.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{x (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.6

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.9

$- 4$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x (1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.11

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.12

공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 4.15

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16

간단히 합니다.

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단계 4.16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.16.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.16.3.1.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x - x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.3

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x - \frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.4

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{x - (2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.16.3.1.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.5.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.16.3.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.5.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - (2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.5.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x - (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 4.16.3.1.8

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

단계 4.16.3.2

$x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.16.3.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 0 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

단계 4.16.3.2.2

$- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

단계 4.16.3.3

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$v'' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

단계 6

$v'$ 에 $\frac{d v}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$