미적분 예제

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

단계 2

$v'$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $v''$ 입니다.

$v''$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

단계 3.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.3.3

${(x + 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2

${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.2.1

${(x + 1)}^{2}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2.2

$- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2.3

$(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

단계 3.6

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

${(x + 1)}^{4}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.10

항을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.10.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.10.3

$x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.10.4

$2$ 와 $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11

간단히 합니다.

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단계 3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.11.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.3

$- 2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.11.3.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.3.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.3.3

$2 (- x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.5

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.6

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.7

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 3.11.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 5

$v'$ 에 $\frac{d v}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$