미적분 예제

$u = \ln (x^{\frac{1}{3}})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{3}}))$

단계 2

$u$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $u'$ 입니다.

$u'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 3.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 3.9

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 에 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$x^{\frac{1}{3}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.10.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.1.1

$x^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

단계 3.11.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

단계 3.11.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

단계 3.11.1.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.11.1.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{3 x^{1}}$

단계 3.11.2

$3 x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{3 x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$u' = \frac{1}{3 x}$

단계 5

$u'$ 에 $\frac{d u}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d u}{d x} = \frac{1}{3 x}$