미적분 예제

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

단계 2

$f$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $f'$ 입니다.

$f'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ , $g (r) = 4 r^{4} - 7$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 는 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $4 r^{4} - 7$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ 가 됩니다.

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2.2

$4$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $4 r^{4}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ 입니다.

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2.5

$- 7$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$16 r^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2.6.2

$- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

단계 3.2.7

합의 법칙에 의해 $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ 가 됩니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

단계 3.2.8

$- 6$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- 6 r^{9}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ 입니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

단계 3.2.9

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

단계 3.2.10

$9$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

단계 3.2.11

$- 1$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

단계 3.2.12

$- 54 r^{8}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

단계 3.2.13

$- 9$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- \frac{9}{r^{2}}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ 입니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

단계 3.2.14

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.14.1

$\frac{1}{r^{2}}$ 을 ${(r^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

단계 3.2.14.2

${(r^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.14.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

단계 3.2.14.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

단계 3.2.15

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

단계 3.2.16

$- 2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$- 6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.2

지수를 더하여 $r^{9}$ 에 $r^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.2.1

$r^{3}$ 를 옮깁니다.

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.2.3

$3$ 를 $9$ 에 더합니다.

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.5

$- 16$ 와 $\frac{9}{r^{2}}$ 을 묶습니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.6

$- 16$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.8

$r^{3}$ 와 $\frac{144}{r^{2}}$ 을 묶습니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.9

$r^{3}$ 의 왼쪽으로 $144$ 이동하기

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.10

$r^{3}$ 및 $r^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.10.1

$144 r^{3}$ 에서 $r^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.10.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.10.2.4

$144 r$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.11

$144$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

단계 3.3.4.12

$18$ 와 $\frac{1}{r^{3}}$ 을 묶습니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

단계 3.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

단계 3.3.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

단계 3.3.6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

단계 3.3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.2

지수를 더하여 $r^{8}$ 에 $r^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.2.2.1

$r^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.2.3

$4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.3

$- 54$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.4

$- 7$ 에 $- 54$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.6

$4 \frac{18}{r^{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.2.6.1

$4$ 와 $\frac{18}{r^{3}}$ 을 묶습니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.6.2

$4$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.7

$r^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.2.7.1

$r^{4}$ 에서 $r^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

단계 3.3.6.2.8

$\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.2.8.1

$\frac{18}{r^{3}}$ 와 $- 7$ 을 묶습니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

단계 3.3.6.2.8.2

$18$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

단계 3.3.6.2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

단계 3.3.7

$- 96 r^{12}$ 에서 $216 r^{12}$ 을 뺍니다.

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

단계 3.3.8

$72 r$ 에서 $144 r$ 을 뺍니다.

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

단계 5

$f'$ 에 $\frac{d f}{d r}$ 를 대입합니다.

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$