미적분 예제

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (y) = \cos (y)$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.1.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 3.3.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

단계 3.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.4.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

$6$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 를 뺍니다.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.3

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 의 각 항을 $- \sin (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 의 각 항을 $- \sin (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

단계 6.3.2.2

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

단계 6.3.2.2.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

단계 6.3.3.2

분수를 나눕니다.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

단계 6.3.3.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

단계 6.3.3.4

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

단계 6.3.3.5

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\csc (x)$ 을 묶습니다.

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

단계 7

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$