미적분 예제

$x \sin (3 x + 5 y) = y \cos (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (x \sin (3 x + 5 y)) = \frac{d}{d y} (y \cos (x))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (y) = x$ , $g (y) = \sin (3 x + 5 y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d y} [\sin (3 x + 5 y)] + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.2

$f (y) = \sin (y)$ , $g (y) = 3 x + 5 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x + 5 y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$x (\cos (u) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $3 x + 5 y$ 로 바꿉니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $3 x + 5 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ 가 됩니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.3.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [x]$ 입니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.5

$5$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $5 y$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \frac{d}{d y} [y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \cdot 1)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.7

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.8

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) x'$

단계 2.9

항을 다시 정렬합니다.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (y) = y$ , $g (y) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.2

$f (y) = \cos (y)$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$y (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \cdot 1$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (- \sin (x) x') + \cos (x)$

단계 3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- y \sin (x) x' + \cos (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x') + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

단계 5.1.1.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

단계 5.1.1.1.3

$x \cos (3 x + 5 y)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 \cdot (x \cos (3 x + 5 y)) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

단계 5.1.1.1.4

괄호를 제거합니다.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

단계 5.1.1.2

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- y \sin (x) x' + \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y x' \sin (x) + \cos (x)$

단계 5.3

방정식의 양변에 $y x' \sin (x)$ 를 더합니다.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x)$

단계 5.4

방정식의 양변에서 $5 x \cos (3 x + 5 y)$ 를 뺍니다.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

단계 5.5

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$3 x x' \cos (3 x + 5 y)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

단계 5.5.2

$x' \sin (3 x + 5 y)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

단계 5.5.3

$y x' \sin (x)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

단계 5.5.4

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y))$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

단계 5.5.5

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x))$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

단계 5.6

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ 의 각 항을 $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ 의 각 항을 $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x))}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

단계 5.6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.2.1

$3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.6.2.1.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

단계 5.6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} - \frac{5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

단계 5.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$