미적분 예제

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{125 - p^{2}}$ 을(를) ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$x$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $x'$ 입니다.

$x'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ , $g (p) = 125 - p^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 는 $f' (g (p)) g' (p)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $125 - p^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $125 - p^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

단계 4.7

합의 법칙에 의해 $125 - p^{2}$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

단계 4.8

$125$ 이 $p$ 에 대해 일정하므로, $125$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $125$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

단계 4.9

$0$ 를 $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

단계 4.10

$- 1$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $- p^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

단계 4.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

단계 4.12

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

단계 4.12.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

단계 4.12.3

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $p$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.12.4

$- 2 p$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.13

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.1

$2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

단계 4.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d p}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$