미적분 예제

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x y^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

단계 3.7

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (2 x y y' + y^{2})$

단계 3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

단계 3.8.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x y y' + 3 y^{2}$

단계 3.8.3

항을 다시 정렬합니다.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $6 x y y'$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

단계 5.3

$3 y^{2} y' - 6 x y y'$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3 y^{2} y'$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

단계 5.3.2

$- 6 x y y'$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

단계 5.3.3

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

단계 5.4

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y (y - 2 x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y (y - 2 x)$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.2.3

$y - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.1.2

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.1.3

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.3.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.3.2.1

$3 y (y - 2 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

단계 5.4.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

단계 5.4.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y}{y - 2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(y - 2 x) y$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.3.1

$\frac{y}{y - 2 x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.3.2

$(y - 2 x) y$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.5.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.5.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

단계 5.4.3.5.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$