미적분 예제

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

단계 2

$x$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $x'$ 입니다.

$x'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

$500$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ 의 미분은 $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ 입니다.

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

단계 3.1.2

$\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ 을 $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

단계 3.2

$f (p) = p^{- 1}$ , $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 는 $f' (g (p)) g' (p)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (p^{2} + 1)$ 로 바꿉니다.

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

단계 3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (p^{2} + 1)$ 로 바꿉니다.

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

단계 3.3

$- 1$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

단계 3.4

$f (p) = \ln (p)$ , $g (p) = p^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 는 $f' (g (p)) g' (p)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $p^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

단계 3.4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $p^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

$\frac{1}{p^{2} + 1}$ 와 $- 500$ 을 묶습니다.

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

단계 3.5.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.5.2.1

$\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ 와 $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ 을 묶습니다.

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

단계 3.5.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

단계 3.5.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

단계 3.5.3

합의 법칙에 의해 $p^{2} + 1$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ 가 됩니다.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

단계 3.5.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

단계 3.5.5

$1$ 이 $p$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

단계 3.5.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.5.6.1

$2 p$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

단계 3.5.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

단계 3.5.6.3

$- 2$ 와 $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

단계 3.5.6.4

$- 2$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

단계 3.5.6.5

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ 와 $p$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

단계 3.5.6.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.6.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

단계 3.5.6.6.2

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

단계 5

$x'$ 에 $\frac{d x}{d p}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$