미적분 예제

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

단계 2

$V$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $V'$ 입니다.

$V'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$p$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $p r^{2} (2 p r - 24)$ 의 미분은 $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ 입니다.

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

단계 3.2

$f (r) = r^{2}$ , $g (r) = 2 p r - 24$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 는 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $2 p r - 24$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ 가 됩니다.

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3.2

$2 p$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $2 p r$ 의 미분은 $2 p \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3.5

$- 24$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $- 24$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $- 24$ 입니다.

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$2 p$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3.6.2

$r^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

단계 3.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

단계 3.3.8

$2 p r - 24$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$p$ 를 $1$ 승 합니다.

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.2

$p$ 를 $1$ 승 합니다.

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.5

$p^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.7

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.8

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.11

$p$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.12

$p$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

단계 3.4.4.15

$2$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

단계 3.4.4.16

$2 p^{2} r^{2}$ 를 $4 p^{2} r^{2}$ 에 더합니다.

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

단계 3.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

단계 5

$V'$ 에 $\frac{d V}{d r}$ 를 대입합니다.

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$