미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 1.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 1.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $4^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 1.3.3

$a$ = $4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4^{x} \ln (4)}$

단계 2

$\frac{4}{\ln (4)}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 3.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 3.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $4^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 3.3.3

$a$ = $4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{4^{x} \ln (4)}$

단계 4

$\frac{3}{\ln (4)}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 5.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 5.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $4^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 5.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 5.3.3

$a$ = $4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4^{x} \ln (4)}$

단계 6

$\frac{2}{\ln (4)}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}}$

단계 7

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 7.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

단계 7.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $4^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 7.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 7.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

단계 7.3.3

$a$ = $4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x} \ln (4)}$

단계 8

$\frac{1}{\ln (4)}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x}}$

단계 9

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{4^{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\ln (4)$ 을 $\ln (2^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{\ln (2^{2})} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.2

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{2})$ 을 전개합니다.

$\frac{4}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.3

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

$2 \ln (2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.4

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$\frac{2}{\ln (2)}$ 에 $\frac{3}{\ln (4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.5

$\ln (4)$ 을 $\ln (2^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6}{\ln (2) \ln (2^{2})} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.6

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{2})$ 을 전개합니다.

$\frac{6}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.7

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.7.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.7.2.1

$\ln (2) (2 \ln (2))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{\ln (2) (\ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.8.1

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.8.2

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.8.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.8.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.9

조합합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{\ln^{2} (2) \ln (4)} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

단계 10.10

조합합니다.

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

단계 10.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.11.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

단계 10.11.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

단계 10.12

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.12.1

$\ln (4)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln (4))} \cdot 0$

단계 10.12.2

$\ln (4)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln^{1} (4))} \cdot 0$

단계 10.12.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) {\ln (4)}^{1 + 1}} \cdot 0$

단계 10.12.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)} \cdot 0$

단계 10.13

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$