미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 을(를) ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.1.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))$

단계 1.1.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))$

단계 1.1.10

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

단계 1.1.11

항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

단계 1.1.11.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

단계 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.11.4

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.11.5

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

도함수 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.1.2

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{10^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 1) = - \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.2.1.2

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.2.2

최종 답은 $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0)$

단계 8