미적분 예제

${(6 x y + 5)}^{2} = 12 y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} ({(6 x y + 5)}^{2}) = \frac{d}{d y} (12 y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(6 x y + 5)}^{2}$ 을 $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d y} [(6 x y + 5) (6 x y + 5)]$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y + 5) + 5 (6 x y + 5)]$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y + 5)]$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d y} [6 (x \cdot x) y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} (y \cdot y) \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3.1.3

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3.1.4

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3.1.5

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 (x y) + 5 \cdot 5]$

단계 2.3.1.6

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 x y + 25]$

단계 2.3.2

$30 x y$ 를 $30 x y$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25]$

단계 2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.4.2

$36$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $36 x^{2} y^{2}$ 의 미분은 $36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ 입니다.

$36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.5

$f (y) = x^{2}$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.6.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$36 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.7

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.7.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.8

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$36 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.9

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.10

$60$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $60 x y$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d y} [x y]$ 입니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.11

$f (y) = x$ , $g (y) = y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.12

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.12.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.13

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + \frac{d}{d y} [25]$

단계 2.14

$25$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + 0$

단계 2.15

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$ 를 $0$ 에 더합니다.

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

단계 2.16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

단계 2.16.2

분배 법칙을 적용합니다.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

단계 2.16.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.16.3.1

$2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$72 (x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

단계 2.16.3.2

$2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 x + 60 y x'$

단계 2.16.4

항을 다시 정렬합니다.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$12$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $12 y$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 \cdot 1$

단계 3.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $72 x^{2} y$ 를 뺍니다.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12 - 72 x^{2} y$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $60 x$ 를 뺍니다.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

단계 5.2

$72 y^{2} x x' + 60 y x'$ 에서 $12 y x'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$72 y^{2} x x'$ 에서 $12 y x'$ 를 인수분해합니다.

$12 y x' (6 y x) + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

단계 5.2.2

$60 y x'$ 에서 $12 y x'$ 를 인수분해합니다.

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5 = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

단계 5.2.3

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5$ 에서 $12 y x'$ 를 인수분해합니다.

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

단계 5.3

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ 의 각 항을 $12 y (6 y x + 5)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ 의 각 항을 $12 y (6 y x + 5)$ 로 나눕니다.

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.2.3

$6 y x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.2.3.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.2

$- 72$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.1

$- 72 x^{2} y$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.2.1

$12 y (6 y x + 5)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.5

$- 60$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.1

$- 60 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.2.1

$12 y (6 y x + 5)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

단계 5.3.3.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

단계 5.3.3.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 5 x}{y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} \cdot \frac{y}{y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $y (6 y x + 5)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

$\frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{(6 y x + 5) y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.3.2

$(6 y x + 5) y$ 인수를 다시 정렬합니다.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

단계 5.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$