미적분 예제

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y + y x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (y) = x^{2}$ , $g (y) = y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2.3

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2.5

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.2.6

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (y) = y$ , $g (y) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.2

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

단계 2.3.5

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

단계 2.3.6

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$2 y x x'$ 를 $2 y x x'$ 에 더합니다.

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

단계 2.4.1.2

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$2 x^{2} + 4 y x x'$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

단계 3

$6$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 x^{2}$ 를 뺍니다.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

단계 5.2

$4 x y x' = - 2 x^{2}$ 의 각 항을 $4 x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4 x y x' = - 2 x^{2}$ 의 각 항을 $4 x y$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

단계 5.2.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

단계 5.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

단계 5.2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

단계 5.2.2.3.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

단계 5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

$4 x y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

단계 5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

단계 5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

단계 5.2.3.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

단계 5.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.2.1

$2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

단계 5.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

단계 5.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

단계 5.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$