미적분 예제

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

단계 1

x절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

x절편을 구하려면 $y$ 에 $0$ 을 대입하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

단계 1.2

식을 풉니다.

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단계 1.2.1

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

단계 1.2.2

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

단계 1.2.2.3

$5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

$5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

단계 1.2.2.3.2

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

단계 1.2.2.3.3

$2$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

단계 1.2.2.3.4

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

단계 1.2.2.3.5

$- 3$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

단계 1.2.2.3.6

$250$ 에서 $75$ 을 뺍니다.

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

단계 1.2.2.3.7

$- 36$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$175 - 180 + 5$

단계 1.2.2.3.8

$175$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$- 5 + 5$

단계 1.2.2.3.9

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.2.2.4

$5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 5$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

단계 1.2.2.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ 을 $x - 5$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

단계 1.2.2.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

단계 1.2.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

단계 1.2.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - 10 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

단계 1.2.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

단계 1.2.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

단계 1.2.2.5.7

피제수 $7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

단계 1.2.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

단계 1.2.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{2} - 35 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

단계 1.2.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

단계 1.2.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

단계 1.2.2.5.12

피제수 $- x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

단계 1.2.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

단계 1.2.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x + 5$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

단계 1.2.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

단계 1.2.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{2} + 7 x - 1$

단계 1.2.2.6

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

단계 1.2.4

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 1.2.4.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 1.2.5

$2 x^{2} + 7 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$2 x^{2} + 7 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

단계 1.2.5.2

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 1.2.5.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = 7$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.3.1.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.3.1.2.2

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.3.1.3

$49$ 를 $8$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.4.1.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.4.1.2.2

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.4.1.3

$49$ 를 $8$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.4.4

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.4.5

$\sqrt{57}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

단계 1.2.5.2.4.6

$- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

단계 1.2.5.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.5.1.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.5.1.2.2

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.5.1.3

$49$ 를 $8$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.5.4

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.5.5

$- \sqrt{57}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

단계 1.2.5.2.5.6

$- 1 (7) - (\sqrt{57})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

단계 1.2.5.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.5.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

단계 1.2.6

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

단계 1.3

점 형태의 x절편입니다.

x절편: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

단계 2

Y절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

y절편을 구하려면 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2.4

$2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2.4.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2.4.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2.4.1.4

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

단계 2.2.4.1.5

$- 36$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

단계 2.2.4.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 0 + 5$

단계 2.2.4.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 5$

단계 2.2.4.2.3

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = 5$

단계 2.3

점 형태의 y절편입니다.

y절편: $(0, 5)$

단계 3

교집합을 나열합니다.

x절편: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

y절편: $(0, 5)$

단계 4