미적분 예제

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

단계 1

$h$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = h x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $h x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

단계 3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $h x$ 로 바꿉니다.

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

단계 3.2

$f (x) = h$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

단계 3.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

단계 3.3.2

$h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [h]$ 을 $h'$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (h x) (h + x h')$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

단계 3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

단계 4.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 4.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 4.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 4.4.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 4.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.5.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5.2.2

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

단계 4.5.4

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

단계 4.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

단계 4.6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

단계 4.6.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

단계 6

$h'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $h \cos (h x)$ 를 뺍니다.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

단계 6.3

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ 의 각 항을 $x \cos (h x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ 의 각 항을 $x \cos (h x)$ 로 나눕니다.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.2.2

$\cos (h x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.2.2.2

$h'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1.1

분수를 나눕니다.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.2

$\frac{1}{\cos (h x)}$ 을 $\sec (h x)$ 로 변환합니다.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.4

조합합니다.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.6

$\frac{e^{x}}{2 x}$ 와 $\sec (h x)$ 을 묶습니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.7

분수를 나눕니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.8

$\frac{1}{\cos (h x)}$ 을 $\sec (h x)$ 로 변환합니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.9

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.10

조합합니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.11

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.12

$\frac{e^{- x}}{2 x}$ 와 $\sec (h x)$ 을 묶습니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.13

$\cos (h x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1.13.1

공약수로 약분합니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

단계 6.3.3.1.13.2

수식을 다시 씁니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

단계 6.3.3.1.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

단계 7

$h'$ 에 $\frac{d h}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$