미적분 예제

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

단계 2

$f$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $f'$ 입니다.

$f'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

단계 3.2.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$4 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 의 미분은 $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ 입니다.

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

단계 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 x}{7 y}$ 로 바꿉니다.

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

단계 3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 x}{7 y}$ 로 바꿉니다.

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

단계 3.3.3

$\frac{2}{7 y}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{7 y}$ 의 미분은 $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

단계 3.3.5

$\frac{2}{7 y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

단계 3.3.6

$e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 와 $\frac{2}{7 y}$ 을 묶습니다.

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

단계 3.3.7

$e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

단계 3.3.8

$4$ 와 $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ 을 묶습니다.

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

단계 3.3.9

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

단계 3.3.10

$y$ 와 $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ 을 묶습니다.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

단계 3.3.11

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.11.1

공약수로 약분합니다.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

단계 3.3.11.2

수식을 다시 씁니다.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

단계 5

$f'$ 에 $\frac{d f}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$