미적분 예제

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

단계 2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = f$ 입니다.

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

단계 2.2

$4$ 은 $P$ 에 대해 일정하므로 $P$ 에 대한 $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

단계 2.3

$f (P) = f^{2} P$ , $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ 일 때 $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ 는 $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.4

$f (P) = f^{2}$ , $g (P) = P$ 일 때 $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ 는 $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ 는 $n P^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.5.2

$f^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.6

$f (P) = P^{2}$ , $g (P) = f$ 일 때 $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ 는 $f' (g (P)) g' (P)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $f$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.6.3

$u$ 를 모두 $f$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.7

$P$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.8

$\frac{d}{d P} [f]$ 을 $f'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.9

$f (P) = 1 + f$ , $g (P) = 1 - f$ 일 때 $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ 는 $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.10

미분합니다.

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단계 2.10.1

합의 법칙에 의해 $1 - f$ 를 $P$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ 가 됩니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.10.2

$1$ 이 $P$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $P$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.10.3

$0$ 를 $\frac{d}{d P} [- f]$ 에 더합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.10.4

$- 1$ 은 $P$ 에 대해 일정하므로 $P$ 에 대한 $- f$ 의 미분은 $- \frac{d}{d P} [f]$ 입니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.11

$\frac{d}{d P} [f]$ 을 $f'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.12

합의 법칙에 의해 $1 + f$ 를 $P$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ 가 됩니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.13

$1$ 이 $P$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $P$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.14

$0$ 를 $\frac{d}{d P} [f]$ 에 더합니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.15

$\frac{d}{d P} [f]$ 을 $f'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.16

$4$ 와 $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

단계 2.17

간단히 합니다.

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단계 2.17.1

$(1 + f) (1 - f)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.17.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.17.6.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + f) (1 - f)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.17.6.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.17.6.1.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2.1.2

$- f$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2.1.3

$f$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2.1.5

지수를 더하여 $f$ 에 $f$ 을 곱합니다.

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단계 2.17.6.1.2.1.5.1

$f$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2.1.5.2

$f$ 에 $f$ 을 곱합니다.

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2.2

$- f$ 를 $f$ 에 더합니다.

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.4.1

$f^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.2

$2 P f f'$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.3

지수를 더하여 $f^{2}$ 에 $f^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.4.3.1

$f^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.4

지수를 더하여 $f^{2}$ 에 $f$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.4.4.1

$f$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.4.2

$f$ 에 $f^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.4.4.2.1

$f$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.6

간단히 합니다.

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단계 2.17.6.1.6.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.6.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.6.3

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.7

괄호를 제거합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.8

$- f'$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.9

$- f^{2} P (- f')$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.9.2

$f^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.10

지수를 더하여 $f^{2}$ 에 $f$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.10.1

$f$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.10.2

$f$ 에 $f^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.10.2.1

$f$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.10.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.11

$- f^{3} P (- f')$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.11.2

$f^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.12

$f'$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.13

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.14

지수를 더하여 $f^{2}$ 에 $f$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.14.1

$f$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.14.2

$f$ 에 $f^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.14.2.1

$f$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.14.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.14.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.15

$- 1 f'$ 을 $- f'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.16

$- f^{3} P (- f')$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.1.16.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.1.16.2

$f^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.2

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.2.1

$4 f^{2} P f'$ 에서 $4 f^{2} P f'$ 을 뺍니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.2.2

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.3

$- 8 f^{3} P f'$ 를 $4 f^{3} P f'$ 에 더합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.4

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.6.4.1

$- 4 f^{3} P f'$ 를 $4 f^{3} P f'$ 에 더합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.6.4.2

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.8

$- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ 에서 $4 f$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.17.8.1

$- 4 f^{4}$ 에서 $4 f$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.8.2

$4 f^{2}$ 에서 $4 f$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.8.3

$8 P f f'$ 에서 $4 f$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.8.4

$4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ 에서 $4 f$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.8.5

$4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ 에서 $4 f$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.9

$- f^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.10

$f$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.11

$- (f^{3}) - 1 (- f)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.12

$2 P f'$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.13

$- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.14

$- (f^{3} - f - 2 P f')$ 을 $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 2.17.16

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

단계 3

$K$ 이 $P$ 에 대해 일정하므로, $K$ 를 $P$ 에 대해 미분하면 $K$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

단계 5

$f'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

단계 5.2

$f'$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ 의 각 항을 $4 f$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ 의 각 항을 $4 f$ 로 나눕니다.

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

단계 5.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

단계 5.2.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

단계 5.2.1.2.2

$f$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

단계 5.2.1.2.2.2

$f^{3} - f - 2 P f'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

단계 5.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

단계 5.2.1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1.2.1

$4 f$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

단계 5.2.1.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

단계 5.2.1.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

단계 5.2.1.3.2

$0$ 을 $f$ 로 나눕니다.

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

단계 5.2.2

$f'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

방정식의 양변에서 $f^{3}$ 를 뺍니다.

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

단계 5.2.2.2

방정식의 양변에 $f$ 를 더합니다.

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

단계 5.2.3

$- 2 P f' = - f^{3} + f$ 의 각 항을 $- 2 P$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 2 P f' = - f^{3} + f$ 의 각 항을 $- 2 P$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

단계 5.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

단계 5.2.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

단계 5.2.3.2.2

$P$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

단계 5.2.3.2.2.2

$f'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

단계 5.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

단계 5.2.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

단계 6

$f'$ 에 $\frac{d f}{d P}$ 를 대입합니다.

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$