미적분 예제

$x = \sqrt[3]{15000 - p^{3}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{15000 - p^{3}}$ 을(를) ${(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}})$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = 15000 - p^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $15000 - p^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $15000 - p^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.6.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

단계 4.6.3

합의 법칙에 의해 $15000 - p^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

단계 4.6.4

$15000$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $15000$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $15000$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

단계 4.6.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- p^{3}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- p^{3}]$

단계 4.6.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- p^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [p^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [p^{3}])$

단계 4.7

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = p$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $p$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [p]))$

단계 4.7.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

단계 4.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $p$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

단계 4.8

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 (p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

단계 4.8.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (p^{2} \frac{d}{d x} [p])$

단계 4.8.3

$p^{2}$ 와 $\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{p^{2} \cdot - 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

단계 4.8.4

$p^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{- 3 \cdot p^{2}}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

단계 4.8.5

$- 3 p^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

단계 4.9

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 ({(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [p]$

단계 4.9.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

단계 4.9.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

단계 4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

단계 4.11

$\frac{d}{d x} [p]$ 을 $p'$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} p'$

단계 4.12

$p'$ 와 $\frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{p' p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.13

$p' p^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = - \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 6

$p'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$

단계 6.2

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

단계 6.2.2.2

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = - 1$

단계 6.3

양변에 ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

단계 6.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

단계 6.4.1.2

수식을 다시 씁니다.

$p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

단계 6.5

$p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 의 각 항을 $p^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 의 각 항을 $p^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

단계 6.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$p^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

단계 6.5.2.1.2

$p'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$p' = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

단계 6.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$p' = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

단계 7

$p'$ 에 $\frac{d p}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d p}{d x} = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$