미적분 예제

$p = 4 q e^{q^{9}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

단계 2

$p$ 를 $q$ 에 대해 미분하면 $p'$ 입니다.

$p'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $q$ 에 대해 일정하므로 $q$ 에 대한 $4 q e^{q^{9}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

단계 3.2

$f (q) = q$ , $g (q) = e^{q^{9}}$ 일 때 $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ 는 $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.3

$f (q) = e^{q}$ , $g (q) = q^{9}$ 일 때 $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 는 $f' (g (q)) g' (q)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $q^{9}$ 로 바꿉니다.

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $q^{9}$ 로 바꿉니다.

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.4

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 는 $n q^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.5

$q$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.7.2

$e^{q^{9}}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 는 $n q^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

단계 3.9

$e^{q^{9}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

단계 3.10

간단히 합니다.

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단계 3.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

단계 3.10.2

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

단계 3.10.3

항을 다시 정렬합니다.

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

단계 3.10.4

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

단계 5

$p'$ 에 $\frac{d p}{d q}$ 를 대입합니다.

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$