미적분 예제

$f = e^{x} \sin (y + z) - z$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (f) = \frac{d}{d y} (e^{x} \sin (y + z) - z)$

단계 2

$f$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $f'$ 입니다.

$f'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} \sin (y + z) - z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$e^{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{x} \sin (y + z)$ 의 미분은 $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)]$ 입니다.

$e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.2

$f (y) = \sin (y)$ , $g (y) = y + z$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y + z$ 로 바꿉니다.

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.2.3

$u$ 를 모두 $y + z$ 로 바꿉니다.

$e^{x} (\cos (y + z) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.3

합의 법칙에 의해 $y + z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ 가 됩니다.

$e^{x} (\cos (y + z) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.5

$z$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $z$ 입니다.

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + 0)) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x} (\cos (y + z) \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.2.7

$\cos (y + z)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x} \cos (y + z) + \frac{d}{d y} [- z]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$- z$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- z$ 입니다.

$e^{x} \cos (y + z) + 0$

단계 3.3.2

$e^{x} \cos (y + z)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x} \cos (y + z)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$f' = e^{x} \cos (y + z)$

단계 5

$f'$ 에 $\frac{d f}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d f}{d y} = e^{x} \cos (y + z)$