미적분 예제

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = b^{2}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = b$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $b$ 로 바꿉니다.

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $b$ 로 바꿉니다.

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d x} [b]$ 을 $b'$ 로 바꿔 씁니다.

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2.5

$b^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.2.6

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$a^{2} y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a^{2} y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a^{2} y^{2}$ 입니다.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

단계 2.3.2

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$a^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a^{2} b^{2}$ 의 미분은 $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ 입니다.

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = b$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $b$ 로 바꿉니다.

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $b$ 로 바꿉니다.

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

단계 3.3

$a^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [b]$ 을 $b'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 a^{2} b b'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

단계 5

$b'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 a^{2} b b'$ 를 뺍니다.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $2 b^{2} x$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

단계 5.3

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ 에서 $2 b b'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$2 x^{2} b b'$ 에서 $2 b b'$ 를 인수분해합니다.

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

단계 5.3.2

$- 2 a^{2} b b'$ 에서 $2 b b'$ 를 인수분해합니다.

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

단계 5.3.3

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ 에서 $2 b b'$ 를 인수분해합니다.

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

단계 5.4

인수분해합니다.

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단계 5.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = a$ 입니다.

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

단계 5.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

단계 5.5

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ 의 각 항을 $2 b (x + a) (x - a)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ 의 각 항을 $2 b (x + a) (x - a)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2.2

$b$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2.3

$x + a$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2.4

$x - a$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.2.4.2

$b'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.3.1.1

$- 2 b^{2} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

단계 5.5.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.3.1.2.1

$2 b (x + a) (x - a)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

단계 5.5.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

단계 5.5.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

단계 5.5.3.2

$b^{2}$ 및 $b$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.3.2.1

$- b^{2} x$ 에서 $b$ 를 인수분해합니다.

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

단계 5.5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.3.2.2.1

$(b (x + a)) (x - a)$ 에서 $b$ 를 인수분해합니다.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

단계 5.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

단계 5.5.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

단계 5.5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

단계 6

$b'$ 에 $\frac{d b}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$