미적분 예제

${(\frac{b}{a + z^{2}})}^{9}$

단계 1

$f (a) = a^{9}$ , $g (a) = \frac{b}{a + z^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 는 $f' (g (a)) g' (a)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{b}{a + z^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

단계 1.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{b}{a + z^{2}}$ 로 바꿉니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$b$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $\frac{b}{a + z^{2}}$ 의 미분은 $b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}]$ 입니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}])$

단계 2.2

$\frac{1}{a + z^{2}}$ 을 ${(a + z^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [{(a + z^{2})}^{- 1}])$

단계 3

$f (a) = a^{- 1}$ , $g (a) = a + z^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 는 $f' (g (a)) g' (a)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $a + z^{2}$ 로 바꿉니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $a + z^{2}$ 로 바꿉니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $a + z^{2}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}]$ 가 됩니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

단계 4.3

$z^{2}$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $z^{2}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $z^{2}$ 입니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + 0)))$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \cdot 1))$

단계 4.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2}))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- \frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}))$

단계 5.2

$b$ 와 $\frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{b}{a + z^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$9 \frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$9$ 와 $\frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ 을 묶습니다.

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

단계 6.2.2

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ 에 $\frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9 b^{8} b}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

단계 6.2.3

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{9 (b^{1} b^{8})}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

단계 6.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{9 b^{1 + 8}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

단계 6.2.5

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

단계 6.2.6

지수를 더하여 ${(a + z^{2})}^{8}$ 에 ${(a + z^{2})}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8 + 2}}$

단계 6.2.6.2

$8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{10}}$