미적분 예제

$N (t) = - \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$

단계 1

합의 법칙에 의해 $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 20000$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.2

$\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 20000 \frac{d}{d t} [{({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- 20000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 20000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.4

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = 1 + 0.2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + 0.2 t$ 로 바꿉니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + 0.2 t$ 로 바꿉니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $1 + 0.2 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ 가 됩니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.6

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.7

$0.2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $0.2 t$ 의 미분은 $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.9

${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.9.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.10

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.11

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.13

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.13.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.13.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.15

$0.2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2))) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.16

$0$ 를 $0.2$ 에 더합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.17

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.18

$\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $0.2$ 을 묶습니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.19

${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $0.2$ 이동하기

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2 \cdot {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.20

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.21

$\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ 을 묶습니다.

$- 20000 (- \frac{0.2 {(1 + 0.2 t)}^{- 1}}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.22

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0.2 t)}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.23

지수를 더하여 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + 0.2 t$ 을 곱합니다.

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단계 2.23.1

$1 + 0.2 t$ 를 옮깁니다.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ((1 + 0.2 t) {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.23.2

$1 + 0.2 t$ 에 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.23.2.1

$1 + 0.2 t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{1} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.23.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{1 + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.23.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.23.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2 + 1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.23.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.24

$- 1$ 에 $- 20000$ 을 곱합니다.

$20000 \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.25

$20000$ 와 $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{20000 \cdot 0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.26

$20000$ 에 $0.2$ 을 곱합니다.

$\frac{4000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.27

$4000$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.28

공약수로 약분합니다.

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단계 2.28.1

$2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2000}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.28.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

단계 2.28.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

단계 3

$c$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $c$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $c$ 입니다.

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2000}{{(0.2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$