미적분 예제

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

단계 1

$f (v) = v^{6}$ , $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 는 $f' (g (v)) g' (v)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{v}{v^{3} + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

단계 1.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{v}{v^{3} + 1}$ 로 바꿉니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

단계 2

$f (v) = v$ , $g (v) = v^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ 는 $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$v^{3} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $v^{3} + 1$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ 가 됩니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

$1$ 이 $v$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$3 v^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 4

지수를 더하여 $v$ 에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

$v^{2}$ 에 $v$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1

$v$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 5

$v^{3}$ 에서 $3 v^{3}$ 을 뺍니다.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{v}{v^{3} + 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$6$ 와 $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ 에 $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.3

지수를 더하여 ${(v^{3} + 1)}^{5}$ 에 ${(v^{3} + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

단계 6.2.3.2

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$